Окончив среднюю школу, Алексеев Анатолий Иванович работал в райкоме комсомола, зав. библиотекой клуба железнодорожников, в райкоме партии. Заочно окончил в 1931 году первый курс института журналистики и был назначен заместителем редактора газеты "Металлист" в г. Красный Сулин, где работал до марта 1941 года.
Кадровую службу Анатолий Иванович проходил в пограничном районе Белоруссии. Отслужив срочную службу, вернулся вновь в редакцию. В 1935 году, когда газета стала называться "Красносулинской правдой", Алексеев заведовал в ней промышленным отделом. Вскоре его назначили ответственным секретарем, а затем редактором газеты "Стахановец стройки", которая издавалась на строительстве ГРЭС "Несветай".
В 1940 году А.И. Алексеев окончил курсы лейтенантов запаса, а весной 1941 года - курсы усовершенствования командного состава.
15-я гвардейская стрелковая дивизия, в которой Анатолий Иванович воевал, сражалась под Сталинградом, Мелитополем, Белгородом, в Кузбассе, на Херсонском направлении, освобождала Молдавию.
Вся фронтовая жизнь Алексеева связана с разведкой. Был восемь раз ранен, четыре раза контужен, но всегда возвращался в родную часть.
В составе 50-й гвардейской Харьковско-Пражской стрелковой дивизии ему довелось воевать на Южном, Юго-Западном, Степном, на всех трех Украинских фронтах.
Весной 1944 года при форсировании Днестра и в боях за плацдарм в районе села Варница под Бендерами особенно отличилась группа разведчиков гвардии капитана Алексеева. Уничтожив огненные точки врага гранатами, капитан Алексеев повернул пулемет в сторону врага и в течение двух часов отражал атаки наседающего противника, обеспечив этим захват плацдарма. Враг потерял до 150 солдат убитыми и был отброшен. Капитан Алексеев в рукопашной схватке уничтожил вражеского офицера, захватив ценные документы.
За этот подвиг гвардии капитану Анатолию Ивановичу Алексееву 13 сентября 1944 года Указом Верховного Совета СССР было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
В октябре 1944 года в боях на Сандомирском плацдарме в Польше А.И. Алексеев получил тяжелое ранение. 13 месяцев пролежал в госпитале, где и встретил день Победы.
С 1946 года майор Алексеев в запасе жил в городе Красный Сулин. Работал в городской газете.
В 1997 году, в честь 200-летия со дня основания города Красный Сулин, Анатолию Ивановичу Алексееву было присвоено звание "Почетный гражданин г. Красный Сулин".
Умер А.И. Алексеев 27 декабря 1997 года. Похоронен в г. Красный Сулин.